【三角函数的公式有哪些】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握常见的三角函数公式，有助于解决各种实际问题。以下是对常见三角函数公式的总结。
一、基本定义公式
| 名称 | 公式 | 说明 |
| 正弦函数 | $ \sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} $ | 在直角三角形中，对边与斜边的比值 |
| 余弦函数 | $ \cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} $ | 在直角三角形中，邻边与斜边的比值 |
| 正切函数 | $ \tan\theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} $ | 在直角三角形中，对边与邻边的比值 |
| 余切函数 | $ \cot\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{对边}} $ | 正切的倒数 |
| 正割函数 | $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $ | 余弦的倒数 |
| 余割函数 | $ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $ | 正弦的倒数 |
二、诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 公式 | 说明 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ | 奇函数 |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ | 偶函数 |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ | 对称性 |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ | 对称性 |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ | 对称性 |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ | 对称性 |
三、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ | 正弦的和差公式 |
| $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ | 余弦的和差公式 |
| $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ | 正切的和差公式 |
四、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin(2A) = 2\sin A \cos A $ | 正弦的二倍角公式 |
| $ \cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A $ | 余弦的二倍角公式 |
| $ \tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A} $ | 正切的二倍角公式 |
五、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin\left(\frac{A}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}} $ | 正弦的半角公式 |
| $ \cos\left(\frac{A}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} $ | 余弦的半角公式 |
| $ \tan\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{\sin A}{1 + \cos A} $ | 正切的半角公式 |
六、积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)] $ | 正弦与余弦的乘积转和差 |
| $ \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A+B) + \cos(A-B)] $ | 余弦与余弦的乘积转和差 |
| $ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)] $ | 正弦与正弦的乘积转和差 |
七、和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 正弦的和化积公式 |
| $ \sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 正弦的差化积公式 |
| $ \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 余弦的和化积公式 |
| $ \cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 余弦的差化积公式 |
通过以上公式，我们可以更灵活地处理三角函数相关的问题。掌握这些公式不仅有助于提高解题效率，也能增强对三角函数本质的理解。
